\subsection{Différentes approches possibles}

Nous allons considérer au cours de ce projet des équations pouvant être formulées de la manière suivante:

$$\boxed{y'(t)=f(t,y(t))}$$

Il existe différentes méthodes itératives pour résoudre ce type d'équation différentielle. Celles-ci consistent à calculer une suite de points $(t_n,y_n)$ à partir d'un point initial $(t_0,y_0)$ et telle que $y(t_n)=y_n$ et $t_{n+1}=t_n + h$ avec $h$ fixé. Nous allons alors, au cours de ce projet, considérer quatre méthodes distinctes. La méthode d'\bsc{Euler} est la plus simple des méthodes. Elle consiste à approximer localement la fonction par la tangente en un point. La suite de point se calcule alors aisément par la relation $y_{n+1}=hf(t_n,y_n)+y_n$\\

La méthode du point milieu est similaire à la méthode d'\bsc{Euler} par son principe. En effet, celle-ci consiste à calculer un point médian entre $y_n$ et $y_n+1$ par la méthode précédente. Une fois ce calcul fait, on utilise une parallèle à la tangente en ce point milieu passant par $y_n$ pour définir $y_{n+1}$. Cette méthode permet de mieux prendre en compte les variations de la fonction entre $y_n$ et $y_{n+1}$.\\

La méthode de \bsc{Heun} utilise la moyenne des pentes au point initial et au point qui aurait été obtenu par la méthode d'\bsc{Euler} pour définir la position du point suivant. Enfin la méthode de \bsc{Runge-Kutta}, comme les méthodes précédentes, considère la moyenne de quatre points situés entre $y_n$ et $y_{n+1}$.

\subsection{Comparaison et prévision}



Nous avons comparé ces différentes méthodes pour différentes fonctions afin de voir quelle méthode est la plus efficace pour un pas fixé. Ainsi après l'avoir testé sur le cas trivial de la fonction exponentielle, nous les avons appliqués à l'équation différentielle  $y'(t)=\frac{y(t)}{1+t^2}$ ayant pour solution $y(t)=e^{arctan(t)}$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{./comp_exparc.png}
\caption{Résolution numérique pour N=2}
\end{figure}

Il convient de remarquer que les méthodes fonctionnent même en plusieurs dimensions. Ainsi si on considère l'équation différentielle
$y'(t)=\left(\begin{array}{c}
y'_1(t)\\
y'_2(t)
\end{array}
\right)=\left(\begin{array}{c}
-y_2(t)\\
y_1(t)
\end{array}
\right)$ et qu'on trace $y1(t)$ en fonction de $y_2(t)$, on obtient la courbe suivante.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{./test_cercle.png}~~~~~~~\includegraphics[scale=0.45]{./comp_cerc_euler.png}
\caption{Résolution pour N=10 et pour différents N pour la méthode d'\bsc{Euler}}
\end{center}
\end{figure}

On remarque que dans tous les cas, plus le pas est petit plus la précision de la solution obtenue est importante. De plus la méthode de \bsc{Runge-Kutta} est la méthode aboutissant à l'erreur la plus faible pour un pas donné.

\subsection{Champ de vecteur}

\begin{wrapfigure}[14]{l}{8cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.37]{./vector.png}
\caption{Champ de vecteur}
\end{wrapfigure}

Une méthode pour avoir une idée de la solution de l'équation différentielle consiste à tracer dans le plan les tangentes déduites de $f$. C'est à dire qu'on place au point $(x,y)$,  un vecteur de pente $f(x,y)$. Par exemple, si on considère l'équation différentielle $y'=-2xy^2$, on obtient le champ des tangentes présenté sur la Figure 3.\\

Si l'on résout cette équation différentielle, on obtient $y(x)=\frac{1}{x^2}$ qui est l'une des courbes suivie par les tangentes. On peut donc ainsi extrapoler les solutions d'une équation différentielle sans avoir à la résoudre. Bien sûr, seul la résolution de l'équation assure l'exactitude de la conjecture.



